Quantenmechanik - Einführung

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Eine Beschreibung ohne viel Formalismus

Die Welt ist aus kleinen Teilen zusammengesetzt. Zerlegt man die Materie in immer kleinere Teile, so stellt sich die Frage ob dieses Vorgehen irgendwann einmal an seine Grenzen stoßen könnte, gibt es kleinste Teile aus denen sich Materie zusammensetzt? Analoge Fragen stellen sich wenn man Raum und Zeit betrachtet. Ist der Raum ein Kontinuum? Gibt es kleinste Zeiteinheiten?

Die Physiker haben bei der Suche nach den kleinsten Einheiten Unschärfebeziehungen entdeckt. Es gibt offenbar Unschärfebeziehungen zwischen Energie und Zeit, sowie zwischen Impuls und Ort.

Unter Ortsunschärfe versteht man eine Abschätzung für den Fehler, der bei einer Ortsmessung gemacht werden kann. Entsprechendes gilt für eine Impulsmessung. Die größte Ortsunschärfe für die Bestimmung eines Menschen innerhalb eines Gebäudes ist durch die räumlichen Dimensionen des Gebäudes bestimmt, irgendwo da drin wird er schon sein.

Die Ortsunschärfe für die Bestimmung eines S - Bahn - Zuges (beliebtes Verkehrsmittel in München) ergibt sich daraus, wie genau er seinen Fahrplan einhält. Die Bestimmung des Impulses ergibt sich aus dem Produkt der Masse des S-Bahn-Zuges (einschließlich seiner Fahrgäste) und seiner Geschwindigkeit, der Impuls ist 0, wenn der Zug steht.

Das Produkt aus der Ortsunschärfe und der Impulsunschärfe muss größer sein als die Plancksche Konstante h. Dies hat folgende Konsequenzen: bestimmt man einen Ort sehr genau (an dem man einen Impuls messen will),  so wird die Ungenauigkeit in der Impulsbestimmung sehr gross.  Das S-Bahn-Beispiel hilft hier nicht weiter. Ein S-Bahn-Zug kann z.B. in einen Bahnhof eingelaufen sein und hält dort, d.h. sein Impuls ist Null.

Wie aber bestimmt man seinen Ort?

Eine genaue Ortsbestimmung ist nicht möglich, da der Zug räumlich ausgedehnt ist, man kann mehrere Orte angeben, an denen er sich befindet.

In diesem Sinne ist auch die Heisenbergsche Unschärferelation zu verstehen, genaue Ortsbestimmung bedeutet punktförmige Angabe eines Ortes.

Alle Ortsangaben ausgedehnter Körper sind ungenau, allerdings wächst die Genauigkeit der Ortsbestimmung mit zunehmender Kleinheit der betrachteten Objekte.

Sperrt man z.B. eine Kugel in einen Würfel ein, so ist die Ortsungenauigkeit für die Kugel durch die räumlichen Dimensionen des Würfels bestimmt, die Kugel ist irgendwo da drin. Der Impuls der Kugel wird aus dem Produkt ihrer Masse mit ihrer Geschwindigkeit bestimmt.

Die Dimensionen eines Würfels von 10 cm Kantenlänge sind sehr viel größer als die Planksche Konstante h, dennoch darf der Impuls der Kugel nicht beliebig klein werden, da das Produkt aus Ortsunschärfe und Impulsunschärfe größer als die Planksche Konstante sein muß, d.h. die Kugel darf sich nicht völlig in Ruhe befinden (dann wäre nämlich ihre Geschwindigkeit null und damit auch das Produkt aus Geschwindigkeit und Masse 0, also ihr Impuls 0). Also ist es unmöglich, dass sich z.B. eine Metallkugel von 1 cm Durchmesser innerhalb eines Würfels von 10 cm Kantenlänge völlig in Ruhe befindet.

Nun ist diese Unschärfe im Impuls der Kugel so klein, dass man sie gar nicht messen kann.

Interessanter wird es, wenn man z.B. ein Objekt in der Größe eines Elektrons in einen Kasten einsperren will, der nicht viel größer als ein Atomkern ist. Das ist rein gedanklich nur möglich, indem man dem Elektron einen sehr grossen Impuls zugesteht, d.h. es bewegt sich innerhalb dieses Kastens mit sehr grosser Geschwindigkeit. Bei der Aussendung von Elektronen aus einem Atomkern (radioaktive Betastrahlung) kann man diese Geschwindigkeit sogar messen.

Man kann also beliebig kleine materielle Objekte nicht in beliebig kleine Raumbereiche einsperren, da sie mit immer größerer Energie (die sich wie ihr Impuls durch Masse und Geschwindigkeit ausdrückt) auszubrechen versuchen.

Die Unschärfe zwischen Energie und Zeit hat ähnlich dramatische Konsequenzen. Elementarteilchen können sich innerhalb gewisser Zeitintervalle verändern (und dabei z.B. Energie abgeben). Wird dieses Zeitintervall sehr klein, so kann die dabei umgesetzte Energie sehr groß werden.
 
Für sehr kleine Zeitenheiten sind sogar Verletzungen des Energierhaltungssatzes möglich (nach der Theorie), hierin begründet sich z.B der Austausch virtueller Photonen zwischen geladenen Teilchen. Aus diesem Austausch resultiert z.B. die elektromagnetische Kraft.

Dieses Phänomen habe ich noch nicht so richtig verstanden, da muss ich noch einiges lesen. 

Die Unschärferelation begründet (in einfachen Fällen) auch die endliche Ausdehnung von Atomen. Ein Elektron in der Nähe eines Protons hat einen sehr großen Impuls, der es fort treiben will.
(Das Proton hat eine Ausdehnung kleiner als 10-15 m, dies ist der Durchmesser des Atomkerns, das Atom hat einen Druchmesser von etwa 10-10 m)

Die Coulombkraft versucht das Elektron in den Kern hineinzuziehen. Es resultiert ein Gleichgewichtszustand, der in etwa dem Bohrschen Atomradius entspricht.

Größe eines Atoms
 
Genaueres hierüber kann man bei Feynman (Bd III: Quantenmechanik) nachlesen.

"Wir betrachten jetzt eine weitere Anwendung der Unbestimmtheitsrelation (das Produkt der Unbestimmheiten im Vertikalimpuls und in der Vertikalposition ist von der Ordnung h). Sie sollte nicht zu ernst genommen werden; der Grundgedanke ist richtig, aber die Analyse ist nicht sehr exakt. 

Der Gedanke hängt zusammen mit der Größenbestimmung der Atome und der Tatsache, dass nach klassischer Anschauung die Elektronen Licht aussenden und spiralig einwärtskreisen würden, bis sie sich schliesslich auf dem Kern niederlassen. Aber das kann quantenmechanisch nicht richtig sein, weil wir dann wüßten, wo sich jedes Elektron befand und wie schnell es sich bewegte ..."

Die Streuung des Ortes sei von der Größenordnung a, die Verbreiterung des Impulses ergibt sich auf Grund der Unbestimmheitsrelation grob zu h/a, die Impulse müssen dann von der Größenordnung h/a sein.

Dann ist die kinetische Energie grob (1/2)*m*v2 = p2/2m = h2/2ma2
Die potentielle Energie ist etwa -e2/a (dabei ist e2 das Quadrat der Ladung eines Elektrons durch 40)

Die Gesamtenergie ist E = h2/2ma2 - e2/a 
(Egesamt = kinetische Energie + potentielle Energie, die potentielle Energie ist negativ)

Die potentielle Energie nimmt ab, wenn a kleiner wird (sie ist negativ), aber je kleiner a ist, desto größer ist der vom Unbestimmheitsprinzip geforderte Impuls, und darum wird auch die kinetische Energie größer.

Man berechne die kleinst mögliche Energie in Abhängigkeit von a (ein Extremwertproblem), d.h.man bilde die erste Ableitung von E nach a: dE/da, und setze sie null. 

dE/da = -h2 / ma3 + e2 / a2, dE/da = 0 => -h2 / ma3 = e2 / a2

Die Rechnung ergibt für a den Wert a0 = h2 / me2 = 0.528 * 10-10 m, den Bohrschen Atomradius.
Mit 
h = 6,6260755 * 10-34 Js , eel =1,60217733 * 10-19 C (Elementarladung), eel : elektrische Ladung eines Elektrons
0 = 8,854187817 * 10-12 (As)/(Vm)
= 3,141592654, e2 = eel2/(40), 
m = 9,109382*10-31 kg (Ruhemasse des Elektrons)
erhält man: a0 = 0,208910984*10-8 m.
Dividiert man das Ergebnis durch 4*2, so erhält man 0,529*10-10 m.
Man erhält also (in etwa) das gewünschte Ergebnis, wenn man anstatt von h die Größe

verwendet. Ich müßte jetzt noch einmal nachlesen, inwieweit dies in dem Buch von Feynman beschrieben wird.
Die Unschärferelation wird z.B. in Kuchling, Taschenbuch der Physik in der Form  beschrieben.

J = Joule, s = Sekunde, C = Coulomb, A = Ampere, V = Volt, m = Meter, kg = Kilogramm

Zitate aus dem Buch von Feynman sind in " " gesetzt:

"Vom klassischen Standpunkt aus sind Atome völlig unmöglich, weil die Elektronen in den Kern fallen würden".

Berechnet man zu diesem Ergebnis die Gesamtenergie, so ergibt sich E = -13,6 eV (eV = Elektronenvolt).
("... wir haben jedoch gemogelt, wir haben all die Konstanten so eingesetzt, dass es sich gerade so ergibt, dass der richtige Wert herauskommt")

"Was bedeutet eine negative Energie?"

"Es bedeutet, dass das Elektron im Atom weniger Energie hat als wenn es frei ist, es bedeutet, dass es gebunden ist."
"Es bedeutet, dass man Energie braucht, um das Elektron herauszuschlagen".

"Der Widerstand gegen atomare Kompression ist ein quantenmechanischer, kein klassischer Effekt".

<>
Im Prinzip läßt sich mit der vorangehenden Argumentation auch erklären, warum die potentielle Energie negativ ist.
Hat man z.B. ein Elektron  mit der kinetischen Energie null im Coulombfeld eines Protons, so ist es im Coulombfeld gefangen, d.h. man muss Energie aufwenden, um es herauszulösen. 

Allerdings ist die Reichweite des Coulombfeldes unendlich gross, so dass ein Elektron ohne kinetische Energie immer im Coulombfeld des Protons gefangen ist. 
(In der realen Welt gibt es natürlich noch andere Einflußfaktoren, z.B. Felder anderer Teilchen, Verzerrungen der Raumzeit etc, die für die hier vorgenommenen Überlegungen aber unwichtig sind).

In dem Kapitel zur Lagrange-Funktion wird die Differenz von kinetischer und potentieller Energie betrachtet.

Kompliziertere Atommodelle ergeben sich auf Grund stehender Elektronenwellen (Orbitalmodelle).

Sie können durch die Anwendung quantenmechanischer Differentialgleichungen (Schrödinger-Gleichung, Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung) auf Teilchen - Wellenfunktionen, die sich im Kernpotential bewegen,  berechnet werden (unter Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Teilchen).


Link: Weiterführende Kapitel zur Quantenmechanik