Relativistische Begriffe

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Zeitdilatation und Längenkontraktion

Referenz auf eine Diskussionseite über die Lorentzkontraktion

Die nachfolgende Referenz setzt bereits ein Verständnis der Begriffe voraus, wie sie in der nachfolgenden Einführung erläutert werden. Ich habe diese Referenz dennoch am Anfang angegeben, weil sich bei mir einige Einsichten ergeben haben, die ich vorher nicht hatte.

Diskussion Lorentzkontraktion


Einführung in die Begriffe

Man betrachte zwei gleichförmig gegeneinander bewegte Inertialsysteme.

Anschaulich kann man sich ein Raumschiff vorstellen, das von der Erde aus startete und sich nun relativ gegenüber der Erde mit der konstanter Geschwindigkeit v bewegt.

Das System "Raumschiff" werde durch die Koordinaten (t',x') beschrieben, das System "Erde" durch die Koordinaten (t,x).

Im System (t,x) werden die Zeitdifferenzen dt gemessen, im System (t´,x´) die Zeitdifferenzen d.


Zwischen dt und d gilt folgende Beziehung:  d = dt * (1 - v2/c2)1/2 .
Dabei ist v die konstante Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen.

Man kann diese Formel für d aus der Lorentztransformation ableiten. Dabei wird die Zeitdifferenz dt im "ruhenden System" gemessen, die Zeitdifferenz d im relativ hierzu bewegten System.
Es ergibt sich für d ein kleinerer Wert als für dt, hieraus resultiert die Interpretation: "bewegte Uhren gehen langsamer".

Einige Zahlenwerte: 

für v = 0,9c ergibt sich d= 0,44 dt
für v = 0,99c erhält man dtau= 0,14 dt
für v = 0,999c erhält mam dtau= 0,04 dt
für v = 0,9999c erhält man dtau= 0,01 dt

d.h. die Eigenzeit verringt sich auf 1/100 falls v = 0,9999c ist. c ist der konstante Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.
Also richtig dramatische Zeitdifferenzen erhält man erst bei Geschwindigkeiten, die sich um weit weniger als 0,0001 % von der Lichtgeschwindigkeit unterscheiden.
Wenn es dabei um Entfernungen in der Größenordnung von Millionen oder Milliarden von Lichtjahre geht, bei denen man tausende oder Millionen von Jahren einsparen will, muss man sich "sehr nah" an die Lichtgeschwindigkeit annähern:

Für v = 0,999999999999999c erhält man  d =   0.00000004470348 dt

Man erreicht solche Annäherungen bei hypothetischen Raumflügen, wie sie in den Beispielrechnungen für den relativistischen Flug angegeben sind.
Allerdings muss man sich dann überlegen, wie man eine lineare Beschleunigungsphase von 1g über Jahre hinweg aufrecht erhalten will.

Falls es in kosmischen Entfernungen einen großen Attraktor geben sollte, wäre das vielleicht möglich. Im freien Fall gibt es keine Beschränkung auf 1g.

Ein weiterer relativistischer Effekt ist die Massenzunahme des bewegten Objektes. Ich vermute, dass die kinetische Energie hier gravitativ wirkt.

Es gilt

Die Berechnung für v = 0,999999999999999c ergab 22369621m0. m0 ist die Ruhemasse des bewegten Systems. Die bewegte Masse ist also 22 Millionen mal größer als die Ruhemasse.
Durch den relativistischen Effekt wirkt dann noch die Längenkontraktion. Man beobachtet (wenn man könnte, wahrscheinlich) einen schmalen Strich mit der millionenfachen Masse des Raumschiffes, das von der Erde startete. Ob das ganze hinter einem Ereignishorizont verschwinden könnte?

Für den Beobachter im Raumschiff zieht sich das Universum zusammen. Auch hier könnte sich die Frage nach einem Ereignishorizont stellen.
Das ist jetzt aber spekulativ. Genau durchgerechnet und durchdacht habe ich das noch nicht. Wenn es aber wahr wäre, und ein Raumschiff verschwindet, bei hinreichend hoher Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit, hinter einem Ereignishorizont, wo ist es dann geblieben? In der Science Fiction bewegt es sich dann durch einen Hyperraum.

Es gibt Elementarteilchen, die mit "großer Geschwindigkeit" in die Erdatmosphäre eintauchen, mit Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigket. Dort beobachtet man eine Verlängerung der Lebenszeit, also der Eigenzeit der Teilchen. In der Literatur werden als Beispiel oft die Mesonen angegeben.





Bevor sich ein von der Erde startendes Raumschiff mit konstanter Geschwindigkeit v gegenüber der Erde bewegen kann, muss es auf die Geschwindigkeit v beschleunigt werden.

Eine Berechnung der Beschleunigungsphase wird auf der folgenden Seite vorgenommen.

Weiter wird angenommen, dass von 2 Zwillingen ein Zwilling im Raumschiff auf Reisen geht, der andere Zwilling auf der Erde zurückbleibt.

Die Relation zwischen dt und  dändert sich während der Beschleunigungsphase ständig, da die Relativgeschwindigkeit des Raumschiffes gegenüber der Erde ständig größer wird.


Im folgenden wird angenommen, dass das Raumschiff auf eine konstante Geschwindigkeit v gegenüber der Erde beschleunigt wurde. Unter diesen Voraussetzungen gilt die angegebene Beziehung zwischen dt und d.

Die im System (t´,x´) gemessenen Zeitdifferenzen d sind für einen Beobachter in (t´,x´) kleiner als die gemessenen Zeitdifferenzen dt, die ein Beobachter in (t,x) misst.

Allerdings halte ich diese Aussagen nur für sinnvoll, wenn ich sie auf eine gemeinsame Bezugsgröße beziehen kann.

Die Relativgeschwindigkeit v ist die gesuchte Bezugsgröße. Hierüber schließe ich folgendes:

Nachdem sich das System (t',x') für den Beobachter in (t,x) um die Strecke vdt entfernt hat, ist für den Beobachter in (t',x') nur die Zeit d vergangen. Da beide Beobachter die gleiche Relativgeschwindigkeit messen, kann sich für den Beobachter in (t',x') sein System nur um die Strecke vd entfernt haben. Das sieht auf den ersten Blick wie ein Widerspruch aus. Der Beobachter in (t',x') sieht allerdings Entfernungen, die ein Beobachter in (t,x) misst, verkürzt. Dies ist der Effekt der Längenkontraktion. Für diese verkürzte Entfernung braucht er weniger Zeit, d anstatt dt.

Die Längenkontraktion folgt aus der Lorentztransformation für ein bewegtes System relativ zu einem ruhenden System.

Link: Erläuterung zur Lorentztransformation.

Der Erdbeobachter wird nach der Rückkehr des Raumschiffes vielleicht behaupten, dass die Uhr im Raumschiff langsamer geht, denn der zurückgekehrte Zwilling ist jünger als sein auf der Erde zurückgebliebener Zwilling.


Vorausgesetzt wird dabei, dass das Raumschiff bei seiner Reise relativistische Geschwindigkeit erreicht hat, d.h. Relativgeschwindigkeiten gegenüber der Erde in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit.

Auf Grund dieser Sichtweise braucht der Passagier im Raumschiff für den Erdbeobachter weniger Zeit als dt, um sein Ziel zu erreichen. Diesen Effekt bezeichnet man als Zeitdilatation.

Die Zeitdilatation ist dafür verantwortlich, dass der Zwilling im Raumschiff nach der Rückkehr jünger ist, als sein zurückgebliebener Zwilling auf der Erde.
Dieses Phänomen bezeichnet man als Zwillingsparadoxon.

Zu beachten ist dabei, dass der Zwilling auf der Erde mehr individuelle Lebenszeit erfahren hat als der Zwilling im Raumschiff.


d wird auch als Eigenzeit (Eigenzeitdifferenz) des Systems (t',x') bezeichnet. Sie ist die Zeitdifferenz, die ein Beobachter misst, der sich mit dem System (t',x') mitbewegt. d wird gegenüber dt zu null, wenn v den Wert c erreicht. Dieses Ereignis kann für die Geschwindigkeit des Raumschiffes relativ zur Erde nicht eintreten, da seine Ruhemasse von Null verschieden ist.

Nur masselose Teilchen wie z.B. Photonen können sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. "Masselos" hat hier die Bedeutung, dass die Ruhemasse null ist. Der Begriff "Ruhemasse" wird in den Kapiteln über relativistische Mechanik erläutert.

Elementarteilchen, deren Ruhemasse von Null verschieden ist, verfügen über eine Eigenzeit, die bei großen Geschwindigkeiten relativ zum Laborsystem langsamer abläuft.
Das erklärt die Beobachtung: Elementarteilchen mit begrenzter Lebenserwartung im Ruhezustand leben bei hohen Geschwindigkeiten länger.


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