Relativistische Mechanik

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Vierervektoren

In dem angegebenen System aus zwei sich relativ zueinander bewegenden Inertialsystemen wurde nur eine Raumdimension verwendet. Im wirklichen Leben hat man es mit 3 Raumdimensionen und einer Zeitdimension zu tun.

Ortsvektor

Ein Ortsvektor in diesem vierdimensionalen Raum wird folgendermaßen definiert:

Ortsvektor:  (xi) = (ct,x,y,z)

Der Ortsvektor bezeichnet ein Ereignis in der vierdimensionalen Raumzeit. Um ein solches Ereignis festzulegen benötigt man die Angabe einer Zeit, zu dem das Ereignis stattfindet, und eines Ortes, wo das Ereignis stattfindet.

In dem oben angegebenen Beispiel bezeichnen (t,x) und (t',x') Ereignisse in der (um zwei Dimensionen reduzierten) Raumzeit. Die zugehörigen Ortsvektoren wären (ct,x) bzw. (ct',x'). Der Faktor c führt dazu, dass alle Komponenten des Vektors die gleiche Dimension haben: [c] = m/s, [t] = s, [ct] = m, [x] = m.

c ist eine Konstante (der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit), in vielen Veröffentlichungen zur theoretischen Physik wird diese Konstante zu 1 gewählt. Man erkennt dann allerdings den Unterschied zwischen c und c2 nicht mehr, was an manchen Stellen Verständnisschwierigkeiten bereiten kann.

Geschwindigkeitsvektor

Geschwindigkeitsvektor:

Eine größere Darstellung des Bildes

  d ist immer kleiner als dt, dies impliziert die Aussage: "bewegte Uhren gehen langsamer".

Bewegungen von Elementarteilchen

Man betrachte z.B. die Bewegung eines Elektrons in einem Labor.

Die im Ruhesystem des Elektrons vergehende Zeit ist seine Eigenzeit.

Ein Ruhesystem ist  ein System, das mit einer Masse verknüpft ist, sich relativ zu dieser Masse in Ruhe befindet, und in dem man Zeit und Raum messen kann.
 
Betrachtet man das Elektron als ruhend, so bewegt sich relativ dazu das Labor.

In dem relativ zum Elektron ruhenden System vergeht die Zeit , d bezeichnet anschaulich "kleine" Zeitdifferenzen im Ruhesystem des Elektrons. 

Im Gegensatz dazu misst ein Beobachter im Labor die Zeit t bzw. Zeitdifferenzen dt.

Für die angegebene Beziehung zwischen dt und d ist es wichtig, dass sich zu irgendeinem früheren Zeitpunkt t Elektron und Labor relativ zueinander in Ruhe befanden, und das Elektron relativ zum Labor auf die Geschwindigkeit v beschleunigt worden ist.

Andernfalls kann man leicht Paradoxien konstruieren.
 

Beschleunigte Masse

Während der Beschleunigung wirkt eine Kraft auf die beschleunigte Masse (die z.B. einen Passagier in einem beschleunigten Auto in den Sitz drückt). 

Betrachtet wird jetzt das Auto als Ruhesystem:

relativ zum Auto wird zwar auch die Umgebung beschleunigt, die Autoinsassen sehen eine Fussgänger am Strassenrand relativ zum Auto beschleunigt, aber auf den Fussgänger wirkt keine Kraft.

In diesem Sinne sind die beiden Systeme nicht gleichwertig. Um z.B. Uhren miteinander vergleichen zu können, müssen sie irgendwann einmal relativ zueinander in Ruhe gewesen sein. Die eine Uhr wurde dann beschleunigt, die andere blieb zurück. Nur in dem beschleunigten System geht die Uhr langsamer. Hält man das beschleunigte System wieder an, so gleichen sich auch die Taktfrequenzen der Uhren wieder aneinander an, aber die zwischenzeitlich bewegte Uhr zeigt weniger vergangene Zeit an. Dies umschreibt das sogenannte Zwillingsparadoxon.

Ich vermute, dass die beschleunigende Kraft letztendlich für die unterschiedlichen Zeitmessungen verantwortlich ist. Sie bewirkt eine Beschleunigung des Autos und wenn es sich dann geradlinig und gleichförmig bewegt, dass die Uhren im Auto relativ zu den (gleichen) Uhren am Strassenrand etwas langsamer gehen.

Das Elektron im Labor übernimmt die Rolle des Autos und seine "innere Uhr" mißt die Zeit d, während sich der Beobachter, für den sich das Elektron bewegt, die Zeit dt misst.

(vgl. den Abschnitt über spezielle Relativitätstheorie)

Teilchen mit Ruhesystem werden im folgenden als materielle Teilchen (oder Materieteilchen) bezeichnet.
 

Zeitdilatation

Elementarteilchen mit einer "kleinen" Lebenszeit (z.B.Mesonen) "leben länger", wenn sie sich mit "grosser" Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche bewegen. Man erklärt sich diesen Sachverhalt dadurch, dass in dem Ruhesystem der Mesonen weniger Zeit vergangen ist, als ein Beobachter auf der Erdoberfläche mit seiner stationären Uhr misst. Dadurch ist es möglich, dass bestimmte Elementarteilchen die Erdoberfläche erreichen, obwohl ihre Lebenserwartung dies ausschliessen würde.

Kurzlebige Elementarteilchen entstehen z.B. bei der Kollision schneller Teilchen mit der Erdatmosphäre.


Ein Zwischenabschnitt über Teilchen

Ein Teilchen ohne Ruhesystem ist das Photon, es hat keine Ruhemasse und keine Eigenzeit. Im Gegensatz zu materiellen Teilchen repräsentiert es Energie (Radiowellen, Mikrowellen, Lichtwellen, Gammastrahlung bestehen aus einzelnen Photonen unterschiedlicher Frequenz).

Relativ zu einem Teilchen mit Ruhemasse bewegt sich ein Photon immer mit Lichtgeschwindigkeit (ein Teilchen mit Ruhemasse, z.B. ein Elektron, hat relativ zu einem anderen Teilchen mit Ruhemasse (z.B. die Atome eines Beobachters) immer eine Geschwindigkeit kleiner als die Lichtgeschwindigkeit.

Ein Photon kann allerdings materialisieren, d.h.unter bestimmten Voraussetzungen zerfällt es in 2 Materieteilchen, wenn seine Energie die doppelte Ruhemasse des Materieteilchens übersteigt. Hierbei ist die Äquivalenz von Masse und Energie entscheidend, die sich in der Beziehung E = m * c2 ausdrückt. Nur dadurch ist es überhaupt möglich, z.B. die Energie eines Photons mit der Energie eines Elektrons zu vergleichen.



Dieser Vorgang (Materialisation von Teilchen) ist umkehrbar. Es entstehen bei der Materialisation Teilchen und Antiteilchen, die sich bei gegenseitiger Annäherung wieder in ein Photon umwandeln können (Zerstrahlung von Materie).
Wichtig ist bei diesem Vorgang das Gesetz von der Drehimpulserhaltung. Das Photon hat den Drehimpuls 1 (gemessen in Einheiten des Planckschen Wirkungsquantums).
Ein bekanntes Beispiel ist die Erzeugung eines Elektrons und eines Positrons aus einem Photon. Das Positron ist das Antiteilchen des Elektrons.

Etwaige überschüssige Energie des Photons findet sich in der kinetischen Energie von Positron und Elektron wieder (oder wird auf dritte Teilchen übertragen, die bei der Materieerzeugung "zugegen" waren).


Elektron und Positron haben jeweils den Drehimpuls 1/2.

Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe, die Drehimpulsvektoren von Elektron und Positron dürfen sich nicht zu Null addieren, wenn kein weiteres Materieteilchen an ihrer Erzeugung beteiligt war (das z.B. Impuls oder Drehimpuls übernehmen kann).


Zu beachten ist auch die Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes, d.h. ein Photon kann nicht einfach in 2 Teilchen materialisieren, die sich mit gleich großem Impuls entgegengesetzt voneinander entfernen.

Diese Form der Materieerzeugung erfordert Wechselwirkung mit anderen Teilchen, um die Gültigkeit von Impuls- und Drehimpulssatz zu gewährleisten.

Ein gerader zentraler Stoß von Elektron und Positron (mit gleich großer kinetischer Energie) ist schwer vorstellbar (dies würde den Gesamtimpuls Null ergeben, ein Photon mit Impuls Null ist aber nicht existent, in diesem Fall würden sich beide Teilchen gegenseitig vernichten, ohne dabei Energie zu erzeugen, was aber dem Energiererhaltungssatz widerspricht).

Exakte Bewegungsbahnen von Elektron und Positron sind nicht möglich (sonst könnte man sie ja zentral zusammenstoßen lassen). Dies ist im Einklang mit der Unschärferelation der Quantenmechnik.

Allgemeine Überlegungen zur Bewegung von Teilchen

Betrachten wir die Gleichung E = m * c2 etwas genauer.

m ist in dieser Gleichung die Ruhemasse des Teilchens. Die Ruhemasse eines Teilchens nimmt ein Beobachter wahr, der relativ zu diesem Teilchen ruht und der keine Trägheitskräfte erfährt (d.h. das Teilchen bewegt sich geradlinig gleichförmig).

("Teilchen" kann bei diesen Überlegungen auch ein Raumschiff oder ein Planet sein)
 
Etwas allgemeiner: das Teilchen bewegt sich entlang einer Geodäten der Raum - Zeit. Geodäten sind Bahnen, die ein Teilchen durchlaüft, wenn man es in einem Gravitationsfeld sich selbst überläßt. 

Man betrachte z.B. einen frei fallenden Fahrstuhl, seine Insassen bewegen sich kräftefrei (schwerelos).

Solche Geodäten können gekrümmte Linien sein, z.B. wenn sich ein Satellit im freien Fall relativ zur Erdoberfläche bewegt. Kräftefreie Bewegung ist streng genommen nur für punktförmige Teilchen möglich, da in einem inhomogenen Gravitationsfeld benachbarte Geodäten ihren Relativabstand verändern können und als Konsequenz Gezeitenkräfte auf ein räumlich ausgedehntes Teilchen wirken, die es im Extremfall zerreißen können.

Relativistische Energie-Masse-Beziehung

Die relativistische Energie - Masse - Beziehung E = mr * c2 unter Einbeziehung der kinetischen Energie wird weiter unten hergeleitet.
 
Es gilt auch die Gleichung E = mr * c2 , mit der relativistischen Masse mr
Diese Gleichung ist allgemein bekannt als E = m * c2 , dabei wird nicht immer klar unterschieden, ob es sich bei m um die Ruhemasse m0 oder die relativistische Masse mr handelt, man wird aber sehen, dass sie für beide "Massenarten" gilt.

Bezeichnet man die Ruhemasse eines Teilchens als m0, so gilt für die relativistische Masse m = mr:

mr = m0 * (1 - v2/c2)-1/2

Man erkennt, dass die relativistische Masse unendlich groß wird, wenn v = c angenommen wird.

Die relativistische Masse mr wird von einem Beobachter B1 wahrgenommen (gemessen), der relativ zu der mit v bewegten Masse m0 ruht. Der Massenzuwachs ist somit ein relativistischer Effekt, die Ruhemasse m0 wird immer von einem Beobachter B2 gemssen, der relativ zu der Masse m0 ruht (also die Bewegung relativ zu B1 mitmacht).

Impulsvektor

Der Viererimpuls ist definiert als (pi) = m(ui), mit der Vierergeschwindigkeit (ui) und der Ruhemasse m.
Es gilt (pi) = (p0,p1,p2,p3), für p0 macht man den Ansatz p0 = E/c.


Für die Einheiten der Komponenten von (pi) gilt:
[pi] = kg * m/s (zunächst für i = 1,2,3). Damit haben die pi für i = 1,2,3 die Einheit eines Impulses.
[E] = N * m = ((kg * m)/s2) * m = kg * m2/s2 , [c] = m/s   => [E/c] = kg * m/s , damit hat auch E/c die Einheit eines Impulses.

Somit haben alle vier Komponenten des Viererimpulses die Einheit eines Impulses.

Im Ruhesystem eines Teilchens reduziert sich die Energie zu E = m * c2 (mit der Ruhemasse m),
es ist v = 0 und somit = 1. Dieses Ergebnis ist durch Grenzübergang (v -> 0) durch Vergleich der ersten Komponenten
der Gleichung  (pi) = m(ui) nur möglich, wenn in der ersten Komponente von (pi) der Ausdruck E/c steht.


Genauer:
p0 = m * u0 = m * c im Ruhesystem eines Teilchens.

m * c = E/c , wenn man E = m * c2 voraussetzt, es folgt p0 = E/c.

E ist in dieser Gleichung die Ruheenergie eines Teilchens der Ruhemasse m.

Später wird gezeigt, dass E als (relativistische) Energie interpretiert werden kann, wenn man zur Ruheenergie die kinetische Energie hinzunimmt.

Der Grenzübergang v -> 0 ergibt dann die Beziehung p0 = E/c mit der Ruheenergie E.



Ob die Beziehung E = m * c2 wirklich gilt, ist experimentell zu ermitteln, Umwandlungen von Energie in Materie bzw. Materie in Energie werden im Rahmen der experimentellen Teilchenphysik beobachtet. Widersprüche zu der Einsteinschen Beziehung auf Grund experimenteller Befunde sind mir nicht bekannt. Dabei ist die kinetische Energie der beteiligten Materieteilchen zu berücksichtigen.

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