Allgemeine Relativitätstheorie (ART)

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Grundprinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie.


English Version   letzte Änderung: 26.03.2016

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Die Allgemeine Relativitätstheorie wurde von A. Einstein entwickelt und 1916 veröffentlicht (vgl. Wikipedia Artikel: Allgemeine Relativitätstheorie). Sie führt die Gravitation auf eine Krümmung der Raumzeit zurück.

Nach der Einsteinschen Theorie bewirkt eine Masse eine Krümmung der Raumzeit (d.h. sowohl des Raumes als auch der Zeit), diese Krümmung macht sich in unserer dreidimensionalen Erfahrenswelt als Gravitation bemerkbar. Dabei wird die Äquivalenz von Masse und Energie vorausgesetzt (E = m * c2), d.h. auch eine Energiedichte  kann eine Krümmung der Raumzeit bewirken.

Wesentlich für die Größe der Krümmung ist die Energiedichte in einem Raumvolumen. In der Kosmologie und Astrophysik werden lokale Energiedichten relativ zu einem umgebenden Vakuum betrachtet. Hierzu zählen Massenansammlungen wie Galaxien, Haufen von Galaxien, Superhaufen, aber auch Sterne (sonnenähnliche Sterne, Riesensterne, Weiße Zwerge, Neutronensterne, Schwarze Löcher).

Die Kosmologie behandelt darüberhinaus den Energieinhalt des gesamten Universums und leitet hierüber Aussagen über die Entwicklung des Universums ab (Vergangenheit  und Zukunft).

In den Einsteinschen Feldgleichungen werden Krümmung der Raumzeit und deren Energieinhalt zueinander in Beziehung gesetzt. 

Die Beziehung zwischen Energiedichte und Krümmung der Raumzeit ist nicht linear, da eine Erhöhung der Energiedichte die Krümmung der Raumzeit vergrößert, ein Anwachsen der Krümmung aber auch eine größere Energiedichte zur Folge hat. 

Aus den Einsteinschen Feldgleichungen lassen sich Aussagen über die Entwicklung des Kosmos ableiten, wenn man bestimmte Annahmen über die Energieverteilung im Kosmos hinzunimmt (vgl. den Artikel über die Folgerungen aus den Einsteinschen Feldgleichungen).

Die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie verwenden Tensoren. Tensorgleichungen sind invariant unter Koordinatentransformationen. 

Im Fall einer verschwindenden Raumkrümmung geht die Allgemeine Relativitätstheorie in die Spezielle Relativitätstheorie über.

Diese Überlegungen werden im nachfolgenden weiter vertieft. Dabei versuche ich insbesondere zu verdeutlichen, welchen Einfluss die Gültigkeit des Äquivalenzprinzips auf die Ergebnisse hat.


Im folgenden wird das Äquivalenzprinzip beispielhaft erläutert

Betrachten wir als Beispiel das Schwerefeld der Erde. Befinden wir uns in einem frei fallenden Fahrstuhl, so ist das Schwerefeld für einen Menschen, der sich in diesem Fahrstuhl befindet, scheinbar verschwunden. Ein anderes Beispiel ist ein Flugzeug, das sich im freien Fall befindet. Die Insassen können sich schwerelos bewegen.

Ein Beobachter, der auf der Erdoberfläche steht, sieht dagegen den Fahrstuhl (samt Insassen) und das Flugzeug fallen. Die Ursache ist für ihn das Gravitationsfeld der Erde.

Das Gravitationsfeld ist also einmal vorhanden (für den Beobachter auf der Erde) und einmal nicht vorhanden (für den Beobachter im frei fallenden Fahrstuhl).

Umgekehrt werden wir in einen Sessel hineingedrückt, wenn sich dieser in einem Fahrzeug befindet, das beschleunigt (Auto, Flugzeug). Die Wirkung ist die gleiche, als würden wir unter dem Einfluß eines plötzlich entstandenen Gravitationsfeldes in den Sessel hineingedrückt.

Die daraus abgeleitete Idee ist die folgende: man kann ein Gravitationsfeld durch Änderung seines Bewegungszustandes verschwinden lassen (indem man sich frei fallen läßt) bzw. hervorrufen (indem man beschleunigt). Dabei entscheidet man zwischen Gravitationsfeldern, die durch Materie hervorgerufen werden (echte Gravitationsfelder) und solchen, die durch beschleunigte Bewegungen hervorgerufen werden (Trägheitsfelder).

Echte Gravitationsfelder werden durch Schwere Massen hervorgerufen. Trägheitkräfte erhält man, wenn man den Bewegungszustand einer Masse verändert (z.B. durch Abbremsen oder Beschleunigen). Diese Eigenschaften beruhen auf der Trägheit der Massen.
 
Das Äquivalenzprinzips wird z.B. bei Fliessbach folgendermaßen formuliert:

(1) Schwere und träge Masse sind gleich
(2) Gravitationskräfte sind äquivalent zu Beschleunigungskräften
(3) Im lokalen Intertialsystem (Satellitenlabor) gelten die bekannten Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) ohne Gravitation.

Die Begriffe "träge Masse" und "schwere Masse" werden bei den Ausführungen zum  Gravitationsfeld beschrieben.

Die echten Gravitationsfelder sind etwas komplizierter als die durch Beschleunigungen hervorgerufenen. So ist z.B. das Gravitationsfeld der Erde kugelsymmetrisch. Es gibt keine Bewegung im dreidimensionalen Raum, die ein kugelsymmetrisches Gravitationsfeld hervorrufen könnte. Das kugelsymmetrische Gravitationsfeld kann auch nur aus der Sicht "sehr kleiner Massen" zum Verschwinden gebracht werden, die sich in diesem Feld frei bewegen. Dabei stellen diese Überlegungen mathematisch betrachtet nur eine Näherung dar, z.B.  verschwindet das Gravitationsfeld in einem frei fallenden Fahrstuhl für einen mitbewegten Beobachter, weil er klein gegenüber dem angenähert kugelsymmetrischen Feld der Erde ist.

Ausgedehnte Massen unterliegen in einem kugelsymmetrischen Gravitationsfeld dem Einfluß von sogenannten Gezeitenkräften, die sie bei hinreichend starkem Gravitationsfeld zerreißen können.

Auf diese Weise könnten z.B. die Ringe des Jupiters entstanden sein. Ein Mond, der sich dem Planeten zu sehr angenähert hat, wurde möglicherweise unter dem Einfluß der Gravitationskräfte zerrissen.

Betrachten wir eine rotierende Scheibe. Ein Beobachter, der sich auf der Scheibe befindet, spürt eine nach außen gerichtete Kraft (die man als Wirkung eines nach außen gerichteten Gravitationsfeldes deuten kann). Dieses Feld wirkt nur in eine Ebene (2 dimensional), während das Gravitationsfeld der Erde in drei Dimensionen hineinreicht.


In der allgemeinen Relativitätstheorie arbeitet man oft mit Koordinatentransformationen. Dabei benutzt man zunächst ein möglich einfaches System, in dem die Gravitation verschwunden ist (z.B. einen frei fallenden Fahrstuhl), formuliert dort seine Bewegungsgesetze (z.B. geradlinige Bewegung eines einmal angestoßenen und dann sich selbst überlassen Gegenstandes), und transformiert das Ergebnis dann in ein allgemeineres Koordinatensystem (das z.B. die Bewegung vom Standpunkt eines Beobachters auf der Erdoberfläche beschreibt). Man verändert dabei sozusagen die Sichtweise, unter der man ein Phänomen beschreibt.

Auf diese Weise kann man die Bewegungsgleichungen einer "kleinen" Masse in einem beliebigen Gravitationsfeld angeben.
Die Masse muss "klein" sein, da sie sonst das Gravitationsfeld, in dem sie sich bewegt, in einer nicht zu vernachlässigenden Weise verändert.

Diese Überlegungen werden bei der Berechnung der Bewegungsgleichungen explizit durchgeführt.

Die Form der dabei erhaltenen Bewegungsgleichungen ermöglicht eine geometrische Interpretation: eine Masse im Gravitationsfeld bewegt sich in einer gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit.

Man kann Gravitationskräfte als Resultat dieser Krümmung betrachten.


Um die Wechselwirkung zwischen Gravitationsfeld und Massen beschreiben zu können, benötigt man zusätzlich die Einsteinschen Feldgleichungen. Sie beinhalten Beziehungen zwischen der Krümmung der Raumzeit und ihrem Energieinhalt, der diese Krümmung bewirkt. Masse und Energie werden dabei als äquivalent betrachtet. Eine Masse beinhaltet ein bestimmtes Quantum an Energie, beschrieben durch die Gleichung E = m * c2.
Sowohl Masse als auch Energie wirken gravitativ, d.h. sie erzeugen ein Gravitationsfeld.

Schwarze Löcher

Im Extremfall (bei hinreichend großer Masse in einem begrenzten Volumen) kann die dadurch hervorgerufene Krümmung die Raumzeit schließen, man erhält ein schwarzes Loch.

Interessant dabei ist, dass sich die ein schwarzes Loch verursachenden Massen gar nicht berühren müssen. Befinden sich sehr viele Sterne "nahe" beieinander, so kann dadurch ein schwarzes Loch hervorgerufen werden.

Ungeklärt ist heute noch die Frage, ob die Gesamtmasse des Universums ausreicht, um die Raumzeit zu schließen. In diesem Fall würden wir in einem schwarzen Loch leben.

Ein schwarzes Loch kann sich (theoretisch) auch bei dem Kollaps eines Sternes bilden. Allerdings gibt es hier verschiedene Zwischenstufen, so wird ein massereicher Stern bei seiner Explosion zunächst einen weißen Zwerg bilden, dieser könnte bei großer Massenzufuhr zu einem Neutronenstern kollabieren. Neutronensterne werden instabil, wenn die einfließende Masse zu groß wird. Ein kollabierender Neutronenstern endet als schwarzes Loch.

Link: Visualisierung eines Schwarzen Loches

Eine formelmäßige Beschreibung Schwarzer Löcher findet man auf der folgenden Seite.