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Arianne 01a


Unendlichkeit

Der Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik

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Der vorangehende Link motiviert den Unendlichkeitsbegriff an Hand des Zahlensystems. Ziel der Ausführungen ist es zu zeigen, dass es verschiedene Ausprägungen der Unendlichkeit geben kann. Hierfür wird der Begriff der Mächtigkeit verwendet. So kann eine unendliche Menge eine größere Mächtigkeit haben, als eine hiervon verschiedene unendliche Menge. In der Mengenlehre wird z.B. bewiesen, dass die Potenzmenge einer Menge eine größere Mächtigkeit hat, als die Menge selbst.

Ein Problem der Mengenlehre


Sei M die Menge aller Mengen. Dann hat die Potenzmenge P(M) von M eine größere Mächtigkeit als die Menge M selbst. Andererseits ist die Potenmenge von M eine Menge und damit in M enthalten. Eine Teilmenge von M kann aber keine größere Mächtigkeit als M haben.

Über die Inhalte dieser Seite

Die nachfolgenden Absätze behandeln einige mathematische Begriffe, in denen Unendlichkeit vorkommt. Dabei werden die Begriffe Mächtigkeit und Potenzmenge kurz erläutert. Für weitergehende Studien verweise ich auf den oben angegebenen Link.

Ich möchte ausdrücklich betonen, dass die Abhandlungen keine rein wissenschaftlichen Darstellungen sind. Es wird zum Teil mit Anschauung argumentiert. Mir geht es darum, den Begriff der Unendlichkeit so weit zu verdeutlichen, dass die Beschreibungen unendlicher Wesen in unterschiedlichen Hierarchiestufen vorstellbar werden. Arianne ist eine Fantasiegeschichte, in die Begriffe aus der Mathematik und Physik eingewoben sind. Ein wenig Science Fiction ist dabei beabsichtigt. Arianne hat auch eine esotherische Komponente. Es ist die Vorstellung von einem Wesen, das alles umfasst, was ist.

Die natürlichen Zahlen

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Es gibt ein Axiomensystem in der  Mathematik, das besagt, jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (Peano Axiome).

Zur Vereinfachung der Schlussweisen setze ich voraus, dass die natürlichen Zahlen der Größe nach angeordnet werden können und dass der Nachfolger einer natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften entsprechen der intuitiven Vorstellung für den Umgang mit natürlichen Zahlen.

Beispiel: 1,2,3,4,5 sind natürliche Zahlen, es ist 1 < 2 < 3 < 4 < 5.
"<" bezeichnet die "kleiner Relation", d.h.  1 < 2 hat die Bedeutung: 1 ist kleiner als 2 (u.s.w.)

2 ist der Nachfolger von 1, 3 ist der Nachfolger von 2, 4 ist der Nachfolger von 3, 5 ist der Nachfolger von 4.

5 ist die größte natürliche Zahl in der Menge {1,2,3,4,5}.
Für 5 gibt es eine noch größere natürliche Zahl, ihren Nachfolger, die 6,
für 6 gibt es eine noch größere natürliche Zahl, ihren Nachfolger, die 7  (u.s.w.)

In diesem System gibt es keine größte natürliche Zahl. Hieraus schließt man, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Mächtigkeit einer Menge

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Unter der Mächtigkeit einer endlichen Menge wird die Anzahl ihrer Elemente verstanden.
Die Mächtigkeit der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen wird als abzählbar definiert. Manchmal wird auch der Begriff abzählbar unendlich verwendet.

Potenzmenge

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Man kann eine Hierarchie von Unendlichkeiten angeben, definiert über den Begriff einer Potenzmenge.

Im folgenden bezeichnet die "kleinste Stufe der Unendlichkeiten" die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

Eine unendliche Menge dieser Stufe beinhaltet abzählbar viele Elemente.

Die nächsthöhere Stufe der Unendlichkeiten ist die Mächtigkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Eine unendliche Menge dieser Stufe beinhaltet überabzählbar viele Elemente.
Diese Stufe hat die Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen. Das ist die Mächtigkeit des Kontinuums.

Link: Referenzen auf mathematische Inhalte

Stufen der Unendlichkeit in der Arianne Geschichte


Die Stufen der Unendlichkeiten werden in der Geschichte verwendet, um eine Hierarchie kosmischer Wesen zu beschreiben.

Wozu brauche ich eine Hierarchie?

Ich denke dabei an ein Lied von Tori Amos, das Lied über Yaldaboath, es handelt von einem Gott, der nur sich selbst sieht, aber sich dann doch anhören muss: "Du bist nicht allein in der Dunkelheit".

Momentan bedeutet eine höhere Stufe der Unendlichkeit im wesentlichen eine höhere Mächtigkeit, so wie eine unendliche Göttin eine höhere Mächtigkeit hat als die endlichen Wesen, die sie betreut oder verwaltet oder beherrscht. Die unendliche Göttin soll darüber hinaus aber auch alles verstehen, was die kleinen endlichen Wesen denken oder fühlen. Unendlich wird in diesem Zusammenhang interpretiert als "unendlich weit entwickelt." Daher ich der unendlichen Göttin diese Eigenschaften problemlos zuordnen.

Anders formuliert, eine unendliche Göttin ist der spirituelle Zusammenhang aller Wesen, die ein Eigenbewusstsein entwickelt haben.

Vielleicht ist sie aber auch noch viel größer.

In der Hierarchie der Unendlichkeiten kosmischer Wesen soll es ähnlich aussehen. Ein Wesen auf einer Stufe höherer Unendlichkeit ist für die Wesen niedrigerer Stufen der Unendlichkeit eine Göttin.

Ich spreche dabei von einer Göttin, weil ich eine andere Sicht der Dinge habe als sie die klassischen Religionen vermitteln.
Und weil ich das Weibliche verehre.

In den Weltreligionen ist Gott i.A. als männlich definiert.

Eine mögliche Darstellung der Unendlichkeit: eine Webkamera, die sich selbst filmt

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Diese Form der Unendlichkeit hat folgende Eigenschaft: die Dinge wiederholen sich, sie werden nur kleiner.
Ein weiteres Beispiel für eine Unendlichkeit dieser Art wäre eine Sinusfunktion, bei der sich die Amplitude nach jeder Periode halbiert.

Es gibt in der Mathematik aber auch Unendlichkeiten, in denen sich Strukturen nicht wiederholen.
Ein Beispiel ist die Dezimalziffernfolge, die die Zahl Pi beschreibt.

Die Zahl Pi


Pi = 3,14159265358979... (nach GeoGebra)

Es gibt nach dem Komma keine endliche Ziffernfolge, die sich periodisch wiederholt.

Gegenbeispiel 01: 3,141592141592141592141592141592...  die Ziffernfolge 141592 wiederholt sich periodisch.
Gegenbeispiel 02: 22/7 = 3,14285714285714... (nach GeoGebra). Die Ziffernfolge 142857 wiederholt sich periodisch.

Der Unendlichkeitsbegriff in der Physik

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Es fließen Überlegungen aus der Quantenmechanik über Wellenfunktionen ein. Wellenfunktionen werden verwendet, um das Verhalten von Elementarteilchen zu beschreiben. Man kann Wellenfunktionen angeben, die an keinem Punkt in der Raum-Zeit lokalisierbar sind, d.h. man weiß nicht, wo sich das dadurch beschriebene Teilchen befindet und wann es sich befindet, und sie können einen unendlich großen Bereich umfassen, z.B. den gesamten vierdimensionalen Raum mit seinen drei Raum- und einer Zeitdimension.

Und doch können sie als Teilchen materialisieren, in einem begrenzten Bereich der Raum-Zeit, zu einer bestimmten Zeit, z.B. als ein Quantum an Energie, oder als ein Materieteilchen.

Zumindest theoretisch. Reale physikalische Teilchen sind schwieriger zu fassen. Manchmal werden sie durch Wellenpakete beschrieben, die sich durch Überlagerung "vieler" unendlich ausgedehnter Wellenfunktionen ergeben. Dabei wird dann auch noch der Bereich eingeschränkt, wo deren Amplitude von Null verschieden ist. Mathematisches Hilfsmittel ist die Integration.

Unendlichkeit in den Arianne Geschichten


Die kosmischen Wesen sind in dieser Geschichte unendliche Wesen, vorstellbar als unendlich ausgedehnte, multidimensionale Wellenfunktionen, die ihren gesamten Lebensbereich umfassen.

Und sie können überall in diesem Bereich persönlich in Erscheinung treten.


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