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Differenzierbarkeit


Inhaltsverzeichnis

Differentialrechung von Funktionen einer Veränderlichen

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Ableitung

Aus der Schulmathematik ist der Begriff der Ableitung bekannt, man definiert z.B. die Ableitung einer Funktion in der Form:

Ableitung

Dabei sei f  eine Abbildung aus der Menge der  reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen, f : R -> R,
x und h seien reelle Zahlen, x, h  ist element von R.
R bezeichne die Menge der reellen Zahlen, "->" ist das Symbol für eine Abbildung.

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Differenzialquotient und Differenzierbarkeit

Man bezeichnet den Ausdruck df(x)/dx als  Differenzialquotienten. Falls der angegebene Grenzwert existiert, nennt man die Funktion differenzierbar (im Sinne der eindimensionalen reellen Analysis).

Die angegebene Definition der  Differenzierbarkeit wird auch für komplexe Zahlen verwendet, man ersetze in der oben angegebenen Beschreibung R durch C.

C bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.

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Komplexe Differenzierbarkeit

Komplexe Differenzierbarkeit wird auf offenen Mengen betrachtet. Sei U eine offene Teilmenge von C.

Eine offene Teilmenge U von C ist dadurch charakterisiert, dass um jeden Punkt z aus U eine offene Kreisscheibe mit z als Mittelpunkt existiert, die ganz in U enthalten ist.

Eine offene Kreisscheibe mit Radius r um z ist die Menge aller Punkte w aus C für die gilt: |w - z| < r.

Die Funktion f ist komplex differenzierbar in einem Punkt a ist element von U, falls folgendes gilt:

Definition der Ableitung

vgl. Definition der komplexen Differenzierbarkeit

Beispiele:
(1) sei f : R -> R definiert durch f(x) = x2 , dann ist f ' (x) = 2 · x
(2) sei f : C -> C definiert durch f(z) = z2, dann ist f ' (z) = 2 · z

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Differentialrechnung  von Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird auf Funktionen erweitert, deren Definitionsbereiche und Wertebereiche Teilmengen des Rn bzw. Rm sind (n, m sind natürliche Zahlen)

Punkte im n-dimensionalen Raum

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Der Rn ist die Menge der n - Tupel reeller Zahlen: Rn = {x = (x1,...,xn), xi ist element von R, i = 1,...,n}

Der Term x = (x1,...,xn) bezeichnet einen Punkt im n-dimensionalen Zahlenraum Rn.

R bezeichnet die Menge der reellen Zahlen.

Ortsvektor

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Dem Punkt x ist ein Ortsvektor x zugeordnet. Der Ortsvektor x hat die gleichen Komponenten wie der Punkt x. Zur Unterscheidung von Punkten und Vektoren werden die Ortsvektoren fett dargestellt.

Der Ortsvektor x = (x1,...,xn) ist anschaulich ein Vektor, der im Ursprung eines n-dimensionalen kartesischen Koordinatensystems beginnt und dessen Spitze auf den Punkt x = (x1,...,xn) zeigt.

Der Vektorbegriff wird benötigt, um Differenzen, Abstände und Skalarprodukte ausdrücken zu können.

Im folgenden werden zunächst Funktionen betrachtet, deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Funktionen aus dem n-dimensionalen reellen Zahlenraum in die reellen Zahlen

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f(x1,...,xn) ist die Darstellung einer Funktion f mit n Argumenten, ihr Definitionsbereich ist eine Teilmenge des Rn .
xi sind reelle Zahlen; i = 1,...,n; x = (x1,...,xn) ist ein Punkt des Rn, x = (x1,...,xn) der zugehörige Ortsvektor.

Der Wertebereich der Funktion f ist eine Teilmenge von R.

Falls eine solche Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, läßt sie sich folgendermaßen darstellen:

f(x) = f(x0) + grad f(x0) · (x - x0) + d(x, x0) · f0(x)   f0(x) -> 0 falls x -> x0

Gradient

x, x0 sind Punkte des Rn, x = (x1,...,xn) , x0 = (x01,...,x0n);
grad f(x0) bezeichnet den Gradienten von an der Stelle x0
grad f(x0) ist ein Vektor;

grad f(x0)  =
gradient

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"f0(x) -> 0 falls x -> x0" hat die Bedeutung
Grenzwert der Funktion f0(x) für x gegen x0

Abstand

d(x, x0) = |x - x0| ist der Abstand der Orts-Vektoren x und x0.
Das ist der Betrag oder die Länge des Vektors x - x0.
Für die Ortsvektoren x = (x1,...,xn) und x0 = (x01,...,x0n) berechnet sich das Quadrat des Abstandes zu
|x - x0|2 = (x1 - x01)2 + ... + (xn - x0n)2.

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Skalarprodukt

Das Produkt gradf(x0) · (x - x0) ist ein Skalarprodukt zwischen den Vektoren
grad f(
x0) und x - x0.

Skalarprodukt Gradient Vektordifferenz

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d(x, x0) · f0(x)  ist ein Produkt zwischen reellen Zahlen

Der Differentialquotient in der eindimensionalen Darstellung wird also durch den Vektor grad f(x0) ersetzt, 
grad f(x0) besteht aus den partielle Ableitungen der differenzierbaren Funktion f.
(Literatur-Referenz: Analysis II)


Funktionen aus dem n-dimensionalen Zahlenraum in den m-dimensionalen Zahlenraum

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Funktionen f: Rn -> Rm lassen sich komponentenweise darstellen: f = (f1,...,fm). 
Die fi sind Abbildungen des Rn in R.
Der Differentialquotient in der eindimensionalen Darstellung wird bei der Definition der Differenzierbarkeit durch eine Matrix ersetzt. 

f heißt differenzierbar an einem inneren Punkt x0 aus D(f), falls eine in einer Umgebung U(x0) von x0 definierte Funktion 
f0(x): Rn -> Rm existiert, so dass

(1) f0(x) -> 0 falls x -> x0 konvergiert

und folgende Darstellung existiert
(2) f(x) = f(x0)+Df(x0)(x - x0) + d(x, x0) · f0(x)

Funktionalmatrix

Df(x0) ist eine Funktionalmatrix, deren Komponentenwerte an der Stelle x0 berechnet werden.
x = (x1,...,xn) , x0 = (x01,...,x0n) mit den Ortsvektoren x = (x1,...,xn) , x0 = (x01,...,x0n),
d(x, x0) = |x - x0| = ((x1 - x01)2 + ... + (xn - x0n)2)1/2
f(x) = (f1(x1,...,xn),...,fm(x1,...,xn));  f0(x) = (f01(x1,...,xn),...,f0m(x1,...,xn))

Df ist aus den partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen zusammengesetzt:

Jacobi-Matrix
Die partiellen Ableitungen werden an der Stelle x0 = (x01,...,x0n) berechnet.

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Innerer Punkt

Die Voraussetzung innerer Punkt bedeutet, dass eine n-dimensionale Kugel existiert, die diesen Punkt enthält und die ganz im Definitionsbereich D(f) enthalten ist.

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n-dimensionale Kugel

Eine n-dimensionale Kugel mit Radius r > 0 um x0 = (x01,...,x0n) ist die Menge aller Punkte x = (x1,...,xn), die von x0 einen Abstand kleiner als r haben.

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Umgebung

Eine Umgebung von x0 ist eine Menge, die x0 als inneren Punkt enthält.

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Reell differenzierbar

Differenzierbare Funktionen f : R2 -> R2 werden auch als reell differenzierbar bezeichnet, wenn die Differenzierbarkeit von der komplexen Differenzierbarkeit unterschieden werden soll.

Für Abbildungen f : R2 -> R2 erhält man auf diese Weise zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe, die reelle Differenzierbarkeit und die komplexe Differenzierbarkeit. Letztere ergibt sich aus der Interpretationsmöglichkeit der Elemente des R2 als komplexe Zahlen.

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Anmerkungen

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In der mathematischen Fachliteratur werden Funktionen oft durch ein Symbol (z.B. f) bezeichnet, während der Ausdruck f(x) für die Angabe des Funktionswertes reserviert ist.  Häufig wird in der Fachliteratur zwischen Funktion f und Funktionswert f(x) nicht unterschieden, d.h. f(x) wird als Symbol für die Funktion f benutzt.

 x wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet (z.B. in der Informatik).


Differentiale

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In der  physikalischen Fachliteratur findet man Darstellungen der Form d(f(x)) = f '(x) dx, dx wird manchmal als "infinitesimale" kleine Größe betrachtet, man multipliziert also formal mit den Differentialen dx . Dieses Vorgehen macht bestimmte Rechnungen übersichtlicher, man muss sich dabei aber immer vergegenwärtigen, wie die genaue Definition einer Ableitung lautet, andernfalls kann man durch das formale Rechnen mit Differentialen leicht zu Fehlschlüssen kommen (vgl. mit den Darstellungen auf der folgenden Seite).

Differentialformenkalkül

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In bestimmten Bereichen der Mathematik ist das Rechnen mit Differentialen präzisiert worden.  Die zugrundeliegenden Definitionen sind ziemlich kompliziert und in dieser Form für viele Physiker nicht handhabbar, so kommt es dazu, dass sich verschiedene Zweige der Differentialgeometrie herausgebildet haben, die "klassische Differentialgeometrie" und die "moderne" oder rein mathematische Form der Differentialgeometrie, der Differentialformenkalkül. bzw. die Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

In dem Buch von Heil über "Differentialformen und Anwendungen auf Vektoranalysis, Differentialgleichungen, Geometrie", findet man einen einfachen Zugang zum Differentialformenkalkül (auf der Basis des Verständnisses einer Vorlesung über Analysis III im 3. Studiensemester).  Ich würde dieses Buch auf jeden Fall vor der Lektüre von Straumann's Allgemeiner Relativitätstheorie empfehlen.

Das Buch von Wheeler behandelt die Allgemeine Relativitätstheorie auf der Grundlage der modernen Differentialgeometrie (erste Auflage um 1930!) und ist relativ leicht zu verstehen. Es bietet verschiedene Zugänge unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades, ist meiner Meinung nach an manchen Stellen aber zu sehr in Richtung "Black Box Verständnis" ausgerichtet. Es fehlt an manchen Stellen die Präzisierung, wie man sie z.B. bei Straumann vorfindet. Allerdings setzt Straumann eine ganze Menge über den Umgang mit Begriffen und deren Verständnis voraus: differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Tangentialvekoren, Differentialformen, Affine Zusammnenhänge ...
Man sollte auch wissen, was alternierende Differentialformen sind und wie man mit Tensorprodukten in multilinearen Räumen arbeitet


Der Differentialformenkalkül führt zu einer vereinfachten Darstellung von Gleichungen, erfordert meiner Meinung nach aber zu viel mathematisches Hintergrundwissen und lenkt damit von den inhaltlichen Aspekten der Formeln  ab. Auch ist mir nicht klar, wie auf der Ebene der erreichten Abstraktion weitergearbeitet werden kann, es scheint mir eher so zu sein, dass die mathematischen Begriffsbildungen immer komplizierter werden, ohne dass sich fundamentale Einsichten über Inhalte auftun.

Somit beschränke ich mich in meinen eigenen Darstellungen der Allgemeinen Relativitätstheorie auf den klassischen Kalkül, wobei auch dabei nur ein winziger Teilaspekt abgedeckt werden kann.


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