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Laplace Transformation

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Definition

Der Funktion $f(t)$ entspricht die Funktion $F(s) = \displaystyle \int_0^\infty{f(t)e^{-st}dt}$

Setzt man $f(t)=t^n$, so erhält man über das Integral $F(s)=\displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}}$

$F(s)$ ist die Laplace-Transformierte der Funktion $f(t)$.


Aufgabe: Bestimmung der Laplace Transformierten

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Man bestimme die Laplacetransformierte der folgenden Funktionen:

Teil a

$f(t) = (3t)^5$

Es gilt: $\displaystyle \int_0^\infty{(3t)^5e^{-st}dt}=3^5\int_0^\infty{t^5e^{-st}dt}=3^5\frac{5!}{s^6}=\frac{29160}{s^6}$

Ergebnis: $F(s)=\displaystyle \frac{29160}{s^6}$

Teil b

$f(t) = t^5e^{-3t}$

$F(s)= \displaystyle \int_0^\infty{t^5e^{-3t}e^{-st}dt}=\int_0^\infty{t^5e^{-(3+s)t}dt}=\frac{120}{(3+s)^6}$

Ergebnis: $F(s)=\displaystyle \frac{120}{(3+s)^6}$

Teil c

$f(t) = 5t^4$; $t^4 \rightarrow \displaystyle \frac{24}{s^5}$; $5t^4 \rightarrow \displaystyle \frac{120}{s^5}$

Ergebnis: $F(s) = \displaystyle \frac{120}{s^5}$

Teil d

$f(t) = t^6$; $t^6 \rightarrow \displaystyle \frac{6!}{s^7}$

Ergebnis: $F(s) = \displaystyle \frac{6!}{s^7}$

Inverse Laplacetransformation

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$F(s) = \displaystyle \frac{3s^3+10s^2-8s+12}{s^2(s^2+s-6)}$

Man bestimme die inverse Laplace-Transformierte $f(t)$.

Es gilt: $s^2+s-6 = (s+3)(s-2)$

$F(s) = \displaystyle \frac{3s^3+10s^2-8s+12}{s^2(s+3)(s-2)}$

Hierfür wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt und eine Zuordnungstabelle verwendet, die einer Funktion $f(t)$ ihre Laplacetransformierte $F(s)$ zuordnet.

Partialbruchzerlegung

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$F(s) = \displaystyle \frac{3s^3+10s^2-8s+12}{s^2(s+3)(s-2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{(s+3)}+\frac{D}{(s-2)}$

Multiplikation der Gleichung mit $s^2(s+3)(s-2)$ ergibt:

$3s^3+10s^2-8s+12 = As(s+3)(s-2)+B(s+3)(s-2)+Cs^2(s-2)+Ds^2(s+3)$

Bestimmung der Koeffizienten A,B,C,D

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B


$s = 0 \rightarrow 12=B(-6)$; $B = -2$

Der Term $\displaystyle \frac{-2}{s^2}$ ergibt als inverse Transformierte $-2t$

Dabei wurde verwendet: $t^n \rightarrow \displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}}$

D

$s = 2 \rightarrow 24+40-16+12=20D$; $60=20D; D = 3$

Der Term $\displaystyle \frac{3}{(s-2)}$ ergibt als inverse Transformierte $3e^{2t}$

C

$s = -3 \rightarrow 45 = -45C$; $C=-1$

Der Term $\displaystyle \frac{-1}{(s+3)}$ ergibt als inverse Transformierte $-e^{-3t}$

A

Einsetzen von $s=1$ ergibt $17=-4A+21$; $A=1$

Der Term $\displaystyle \frac{1}{s}$ ergibt als Transformierte $t^0$;$t^0=1$

Zusammenfassung der Teilergebnisse

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Die gesuchte Funktion lautet:

$f(t) = 1 -2t -e^{-3t} + 3e^{2t}$

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