Erläuterungen und Definitionen zur Funktionentheorie

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Gebiet

Ein Gebiet ist eine nicht leere offene und zusammenhängende Menge

Einfach zusammenhängende Gebiete

Ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge,
deren Komplement bzgl. der erweiterten komplexen Zahlenebene zusammenhängend ist.

Topologie der Ebene

Dieser Paragraph erläutert topologische Begriffe, die für das Verständnis offener, zusammenhängender
und einfach zusammenhängender Mengen wichtig sind.

Eine Menge heißt offen, wenn alle ihre Punkte innere Punkte sind.

Sei $A \subset \mathbb{C}; z \in A$. $z$ heißt innerer Punkt von $A$, wenn eine Kreisscheibe $B_r(z)$ existiert, die ganz in $A$ enthalten ist.

Eine Menge ist zusammenhängend, wenn sie nicht aus mehreren disjunkten offenen Teilmengen besteht.

Eine Menge ist einfach zusammenhängend, wenn ihr Komplement bzgl. der erweiterten komplexen Zahlenebene zusammenhängend ist. Anschaulich bedeutet dies, dass sie keine Löcher enthalten darf.

Die erweitere komplexe Zahlenmenge ist die Zahlenmenge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitert um den Punkt $\infty$.

Link: Metrik der erweiterten komplexen Zahlenebene


Holomorphe Abbildungen und Funktionen

Die Begriffe Abbildung und Funktion werden als gleichwertig betrachtet.

Eine Funktion ist in diesem Sinne eine spezielle Abbildung,
die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbildet

Eine auf einem Gebiet D der komplexen Zahlenebene definierte, komplexwertige und komplex differenzierbare Funktion bezeichnet man als holomorph.

Komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen können komplex differenzierbar und/oder reell differenzierbar sein. Die Schreibweise
f ´(z) wird i.A. für komplexe Differenzierbarkeit verwendet.

Anstelle von holomorph findet man in älterer Literatur den Begriff analytisch.


Konforme Abbildungen

Eine in einem Gebiet D holomorphe Funktion f, deren Ableitung in einem Punkt z ungleich Null ist, ist dort lokal umkehrbar und sie stellt dort eine konforme Abbildung dar.

Konforme Abbildungen sind winkeltreu.

Bijektive holomorphe Funktionen, deren Umkehrabbildung holomorph ist, bezeichnet man als biholomorph.
Biholomorphe Abbildungen, definiert auf einem Gebiet D der komplexen Zahlenebene, sind konform in beide Richtungen.


Wikipedia:
Eine konforme Abbildung bedeutet eine winkeltreue Abbildung. Falls U eine offene Teilmenge der komplexen Ebene C ist, dann ist die Funktion

    f: U -> C

konform genau dann, wenn sie holomorph oder anti-holomorph ist und ihre Ableitung ungleich null auf ganz U ist.

Ein Satz über die Bedeutung biholomorpher Abbildungen:

Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet D, das Teilmenge von C ist, biholomorph auf die Einheitskreisscheibe E abbilden läßt 


Meromorphe Funktionen

Funktionen, die bis auf Polstellen holomorph sind, heißen meromorphe Funktionen.


Singularitäten

Isolierte Singularitäten sind Punkte der komplexen Zahlenebene, in deren Umgebung eine komplexwertige Funktion definiert und holomorph ist, für die sie aber selbst nicht definiert ist.
Im folgenden wird nur noch der Begriff "Singularität" verwendet (gemeint sind aber isolierte Singularitäten).

Für weitergehende Betrachtungen verweise ich auf Wikipedia, Artikel Singularität (Mathematik).

Polstellen

Eine Polstelle z0 ist eine Singularität einer holomorphen Funktion f, für die gilt, z -> z0 => |f(z)| -> unendlich.

Beispiel: f(z) = 1/z für z = 0

Wesentliche Singularitäten

Eine wesentliche Singularität z0 ist eine Singularität einer holomorphen Funktion f, die keine Polstelle ist und die nicht hebbar ist.

Beispiel: f(z) = exp(1/z) für
z = 0

hebbare Singularitäten

Ein hebbare Singularität z0 ist eine Singularität einer holomorphen Funktion f, für die sich die Funktion holomorph fortsetzen lässt.


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