Erläuterungen und Definitionen zur Linearen Algebra 01

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Inhaltsverzeichnis

Adjungierte Matrix

Für einen Vektorraum V mit Skalarprodukt ist die adjungierte Matrix A+ zu einer Matrix A folgendermaßen definiert



< , > ist ein reelles oder komplexes Skalarprodukt, A kann eine komplexe oder reelle Matrix sein, x, y sind Vektoren aus einem unitären oder euklidischen Vektorraum
Für eine reelle Matrix A ist
A+ = At

d.h. die transponierte Matrix ist gleich der adjungierten Matrix
Für eine komplexe Matrix A ist
A+

d.h. die konjugierte komplexe transponierte Matrix ist gleich der adjungierten Matrix

Adjunkte Matrix

Bestimmung einer adjunkten Matrix
Mit Hilfe der adjunkten Matrix kann eine inverse Matrix bestimmt werden.

Basis

In einem endlich dimensionalen Vektorraum der Dimension n (n sei eine natürliche Zahl, n > 0) bildet jedes System aus n linear unabhängigen Vektoren eine Basis (vgl. auch Dimension, lineare Unabhängigkeit). Eine Basis wird auch als Erzeugendensystem des Vektorraums bezeichnet. Jeder Vektor x des Vektorraumes läßt sich als Linearkombination von Basisvektoren darstellen (zur Definition des Vektorraumes vgl. Index zur Linearen Algebra, Link: Mathematik)

Eine Orthogonale Basis {v1, ...,vn} eines Vektorraumes V mit Skalarprodukt <.,.> erfüllt folgende Bedingung:
<vi, vk> =  ik , mit  ik = 0 falls i  k.

Eine Orthonormalbasis eines Vektorraumes V mit Skalarprodukt ist eine orthogonale Basis mit der zusätzlichen Bedingung  ik = 1 falls i = k.

(das gilt für alle Indizes i,k = 1,..., n)


Bild

Das Bild einer linearen Abbildung f ist ihr Wertebereich.


Bilinearform

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit Char K 2, (d.h. 1 + 1  0)

Eine Bilinearform auf V ist eine Abbildung  : V x V -> K, (v,w) -> (v,w) mit folgenden Eigenschaften:

(i)  ist linear im ersten Argument:  (v1 + v2,w) = (v1,w) +  (v2,w),  (v1,w) =  (v1,w)
(ii)  ist linear im zweiten Argument

Die Bilinearform  heißt  symmetrisch, wenn (v,w)  =  (w,v) für alle v,w  V.

Eine symmetrische Bilinearform heißt nicht entartet, wenn es zu jedem v  V\{0} einen Vektor w  V gibt,
so dass (v,w)  0 ist.

Eine Bilinearform  heißt  positiv definit, wenn für jeden von Null verschiedenen Vektor v gilt:  (v,v) > 0.

Die Form der Darstellung hängt vom verwendeten Browser ab. 
Es gibt z.B. unterschiedliche Darstellungen im Internet Explorer 
und in Firefox.

Beabsichtigt hatte ich folgendes:


  

Determinante

Zur Definition der Determinante vgl. die folgenden Seiten

Geometrische Deutung

Die Matrix A bestehe aus den drei Spaltenvektoren a,b,c: A = (a,b,c).
a,b und c seien Vektoren aus dem R3. Der Betrag der Determinante der Matrix A ist gleich dem Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Dimension

In einem endlich dimensionalen Vektorraum V ist die Dimension n gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren.


Dualraum

Der Dualraum ist der Vektorraum der Linearformen V* über einem Vektorraum V.


euklidischer Vektorraum

Ein reeller Vektorraum, in dem ein skalares Produkt ausgezeichnet ist, wird  Euklidischer Vektorraum genannt. Ein Vektorraum heißt reell, wenn sein Skalarenkörper die reellen Zahlen sind.


hermitesche Matrix

Für einen unitären Vektorraum ist eine hermitesche Matrix A folgendermaßen definiert


Unter diesen Voraussetzungen ist die Matrix gleich der konjugiert komplexen transponierten Matrix.
x, y sind Vektoren.

Hom(V,W), HomK(V,W)

Hom(V,W) bezeichnet den Vektorraum der linearen Abbildungen von V in W, dabei werden V und W als Vektorräume vorausgesetzt. Die Schreibweise HomK(V,W) deutet an, dass K der Skalarenkörper für Hom(V,W) ist.


isomorph

Eine lineare Abbildung f: V -> W ist isomorph, wenn sie bijektiv ist.


Kern

Der Kern einer linearen Abbildung f ist die Menge aller Vektoren v, die durch f auf den Nullvektor abgebildet werden.


konjugiert komplex

Zu einer komplexen Zahl z = x + iy ist die konjugiert komplexe Zahl  folgendermaßen definiert:  = x - iy


konjugiert komplexe transponierte Matrix

Zu einer Matrix A wird für die konjugiert komplexe transponierte Matrix 
folgendes Symbol verwendet.

t symbolisiert transponiert, der Querstrich gibt an, dass die Matrixelemente konjugiert komplex gegenüber den Matrixelementen der Matrix A sind.

Komplex

siehe die Abschnitte über komplexe Zahlen


Lineare Abbildung

Seien v1 und v2 Vektoren eines Vektorraumes V, a1 und a2 Elemente des V zugeordneten Skalarenkörpers,
sei T eine Abbildung von V in einen Vektorraum W.

Die Abbildung T ist linear wenn folgendes gilt:  T(a1v1 + a2v2) = a1T(v1) + a2T(v2).


Linearform

Eine lineare Abbildung eines Vektorraumes V in seinen Skalarenkörper K heißt Linearform.


Linearkombination

Seien v1, ...,vn Vektoren eines Vektorraumes V über einem Skalarenkörper K. Eine Darstellung der Form
a1v1 + ... + anv mit Skalaren a1, ... ,an aus K heißt Linearkombination der Vektoren v1, ...,vn.


Lineare Unabhängigkeit

Sei V ein Vektorraum mit Skalarenkörper K, v1,...,vn Vektoren aus V, a1,...,an Skalare.
Die Vektoren v1,...,vn sind genau dann linear unabhängig, wenn folgendes gilt:

aus einer beliebigen Linearkombination des Nullvektors, a1v1 + ... + anvn = 0, folgt stets a1 = ... = an = 0.


Matrix, M(m x n), M(m x n,K)

Eine (m x n) - Matrix M(m,n) besteht aus n Zeilen und m Spalten. Der durch den Schnitt der i. Zeile mit der k. Spalte definierte Eingang (i,k) heißt Komponente (i,k) der Matrix M. Die Schreibweise M(m x n, K) wird verwendet, um anzuzeigen, dass die Komponenten der Matrix aus einem Skalarenkörper K gewählt wurden.

Jede Matrix - Vektormultiplikation der Form A * x (oft auch als Ax geschrieben) entspricht einer linearen Abbildung A des Vektors x auf den Vektor Ax.

Eine Matrix heißt komplex, wenn ihre Komponenten komplexe Zahlen sind, reell, wenn ihre Komponenten reelle Zahlen sind.


Multilineare Abbildung

Eine Multilineare Abbildung T ist linear in jedem ihrer Argumente, z.B. ist das Skalarprodukt <.,.> eine multilineare Abbildung mit zwei Argumenten.


Normal

Ein Matrix A heisst normal, wenn folgendes gilt

A+ symbolisiert die zu A adjungierte Matrix

Orthogonale Abbildung

Sei V ein euklidischer Vektorraum.
Eine lineare Abbildung A ist orthogonal <=>


<x, y> : Skalarprodukt der Vektoren x, y, <x, y> ist eine reelle Zahl

Orthogonale Projektion

Eine Orthogonalprojektion P ist darüber definiert, dass P2 = P gilt.

Sei X ein Vektorraum mit Skalarprodukt und x ein beliebiger Vektor von X. U sei ein Untervektorraum von X. Ein Vektor u aus U heißt orthogonale Projektion von x in U, wenn x = u + v mit einem Vektor v gilt, der orthogonal auf U ist (nach Kowalski, Lineare Algebra).


Selbstadjungiert

Eine Matrix A heißt selbstadjungiert, wenn folgendes gilt

A+ ist die adjungierte Matrix zu A. Es folgt: symmetrische Matrizen sind selbstadjungiert.

Skalar

Ein Skalar ist ein Element eines Körpers, der einem Vektorraum zugeordnet ist. In der Regel werden als Skalarenkörper die komplexen oder die reellen Zahlen verwendet.


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