Erläuterungen und Definitionen zur linearen Algebra 02

Home

Inhaltsverzeichnis

Skalarprodukt

a und b seien Vektoren aus dem R3.

Das Skalarprodukt a * b ist definiert als |a| * |b| * cos(x). Dabei ist x der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel.

Das Multiplikationssysmbol * zwischen den Vektoren a und b bezeichnet das Skalarprodukt zwischen Vektoren, zwischen |a| und |b| bezeichnet es die Multiplikation zwischen reellen Zahlen.

Für die Komponentendarstellung der Vektoren a und b in der Form

a = (a1,a2,a3) und b = (b1,b2,b3)

mit reellen Zahlen a1,a2,a3,b1,b2,b3

gilt a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3.

Hier bezeichnet das Symbol * zwischen a1 und b1, a2 und b2, a3 und b3 die Multiplikation zwischen reellen Zahlen.

Skalarprodukt als Linearform

Man kann ein Skalarprodukt <w, v> als Linearform auffassen: das Element w des Dualraumes bildet den Vektor v des Vektorraumes linear auf einen Skalar <w,v> ab. Eine andere Interpretation des Skalarproduktes besteht darin, es als Bilinearform < . , .> zu betrachten, die das Element w des Dualraumes und den Vektor v des Vektorraumes auf den Skalar <w,v> abbildet. In manchen Lehrbüchern wird es auch nur als bilineare Abbildung <,>: V x V -> K eingeführt, die zwei Vektoren w,v des Vektorraumes auf einen Skalar <w,v> abbildet.

Ein Skalarprodukt ist symmetrisch, d.h. es gilt <v,w> = <w,v>. Es ist linear in jeder seiner Komponenten.

Kanonisches Skalarprodukt



Kanonisches Skalarprodukt im Rn

Rn bezeichnet die Menge der n-Tupel reeller Zahlen



Kanonisches Skalarprodukt in Cn

Cn bezeichnet die Menge der n-Tupel komplexer Zahlen

Skalarprodukt in Funktionenräumen



Skalarprodukt in C[-1,1]

C[-1,1] bezeichnet die Menge der im Intervall [-1,1] definierten und dort stetigen Funktionen


Spatprodukt

(a x b) * c ist die skalare Multiplikation des Vektorproduktes aus den Vektoren a und b mit dem Vektor c.

Geometrische Deutung

Drei Vektoren a,b,c aus dem R3 spannen ein Parallelepiped auf.
Der Betrag des Spatproduktes (a x b) * c ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds.

Symmetrische Matrix

Für einen euklidischen Vektorraum eine symmetrische Matrix folgendermaßen definiert


Unter diesen Voraussetzungen ist die Matrix gleich der transponierten Matrix

transponiert

Bei einer transponierten Matrix B zu einer Matrix  A sind Zeilen- und Spaltenvektoren vertauscht, d.h. es gilt für die Elemente bik der transponierten Matrix B = (bik) gegenüber A = (aik) : bik = aki
Für die transponierte Matrix B zu einer Matrix A schreibt man auch At oder AT.


Unitäre Abbildung

Eine lineare Abbildung A ist unitär <=>

<x, y> : Skalarprodukt der Vektoren x, y, <x, y> ist eine komplexe Zahl
V: Vektorraum über den komplexen Zahlen

Unitärer Raum

Ein komplexer Vektorraum, in dem zusätzlich ein skalares Produkt ausgezeichnet ist, wird ein unitärer Raum genannt. Ein Vektorraum heißt komplex, wenn sein Skalarenkörper die komplexen Zahlen sind. Unter einem Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum X versteht man eine positive hermitesche Form von X.


Vektorprodukt

Vektorprodukt

Vektorraum

Die Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren.

Zusätzlich ist für einen Vektorraum ein Skalarenkörper definiert.

Für einen Vektorraum ist eine Additon zwischen den Vektoren und eine Multiplikation zwischen Skalaren und Vektoren definiert.

Bzgl. der Addition zwischen den Vektoren bildet der Vektorraum eine abelsche Gruppe.

Für die Multiplikation der Vektoren mit den Skalaren gelten Distributivgesetze.

Ein Vektorraum ist folgendermaßen definiert