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Zum letzten mal editiert: 22.04.2019

Die Menge aller Mengen

Beschreibung der Menge aller Mengen und der Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthält.


Definition einer Menge

Nach Cantor ist eine Menge M eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Referenz:
Mengendefinition

Die Menge aller Mengen

Im folgen wird die Menge aller Mengen betrachtet. Dabei wird die Cantorsche Mengendefinition nicht zwingend zugrundegelegt.
Nach Definition ist die Menge aller Mengen eine Menge.

Mmmh.

Aber was ist da drin? Sind da auch alle Mengen enthalten, die wir noch gar nicht kennen? Die jemals existierten oder einmal existieren werden? In endlicher oder unendlicher Zeit? Muss sie jemand denken, damit sie existieren oder gibt es auch Mengen unabhängig von unserer Anschauung und unseres Denkens?

Ich bin mir sicher, die gibt es.

Allein unsere Anschauung ist bereits beschränkt. Und das Denken? Wenn die Anschauung beschränkt ist, warum soll das Denken dann unbeschränkt sein?

Daraus schließe ich, die Menge aller Mengen ist nicht fassbar. Zumindest nicht mit unseren endlichen Gehirn.

Auch wenn es sie geben sollte, was ist dann mit der Potenzmenge dieser Menge?

Zu jeder Menge lässt sich eine Potenzmenge bilden, sagt die Mathematik. Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen einer Menge.

Die Potenzmenge hat nach den Sätzen der Mathematik eine größere Mächtigkeit als die Menge. Damit kann sie nicht in der Menge enthalten sein. Aber nach Definition ist die Potenzmenge einer Menge eine Menge. Damit muss die Potenzmenge der Menge aller Mengen in der Menge aller Mengen enthalten sein.

Und was nun?

Begriffsklärungen

An Hand von Beispielen werden die verwendeten Begriffe erläutert.

Potenzmenge

Man betrachte die Menge M = {1,2}. Die Potenzmenge ergibt sich zu P(M) = {{1},{2},{1,2},leere Menge}. Insbesondere ist die leere Menge ein Element der Potenzmenge. Anschaulich betrachtet enthält die Menge M zwei Elemente, die Potenzmenge P(M) vier Elemente. Die Mächtigkeit der Menge M ist 2, die Mächtigkeit von P(M) ist 4. Die Mächtigkeit von P(M) ist größer als die Mächtigkeit von M.

Diese Relation lässt sich auf unendliche Mengen übertragen: die Mächtigkeit der Potenzmenge ist größer als die Mächtigkeit der zugrundeliegenden Menge. Dabei muss zunächst geklärt werden, welche Bedeutung der Begriff Mächtigkeit einer Menge hat.

Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Mengen gibt.

Eine bijektive Abbildung ist injektiv und surjektiv. Injektiv bedeutet, dass die Abbildung umkehrbar ist, surjektiv hat die Bedeutung, das alle Elemente der Bildmenge durch die Abbildung erfasst werden.

Zum Beispiel ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen. Eine bijektive Abbildung der Menge der natürlichen Zahlen auf die Menge der geraden natürlichen Zahlen erhält man durch die Zuordnungsvorschrift n -> 2n, d.h. eine natürliche Zahl wird auf die mit 2 multiplierte natürliche Zahl abgebildet.

Keine bijektive Abbildung lässt sich zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen konstruieren. Die Menge der reellen Zahlen hat eine größere Mächtigkeit als die Menge der natürlichen Zahlen.

Die Mathematik behauptet, dass die Potenzmenge der natürlichen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen gleichmächtig sind.

Konstruktion von Potenzmengen

Es werden folgende Aussagen zugrunde gelegt:

(01) die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge

(02) die Menge ist Teilmenge der Menge

Für die leere Menge wird das Symbol ∅ verwendet.

Sei nun M0 die leere Menge, d.h. M0 = ∅.

Die Potenzmenge der leeren Menge ist die Menge aller Teilmengen der leeren Menge. Es gibt nur eine Teilmenge der leeren Menge, das ist die leere Menge.

Die Potenzmenge der leeren Menge ergibt sich dann zu M1={∅}.

Das ist eine Menge, bestehend aus einem Element. Das Element ist die leere Menge.

Die Potenzmenge von M1 ergibt sich zu M2 = {∅, {∅}}.

Die leere Menge ist Teilmenge von M1 und damit Element von M2.
M1 ist Teilmenge vcn M1 und damit Element von M2.

Die Potenzmenge von M2 ergibt sich zu
M3 = { ∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }

EDIT 20.05.2017

Die leere Menge ∅ ist Teilmenge von M2 und somit Element von M3.
Die Menge {∅} ist Teilmenge von M2 und somit Element von M3.
Die Menge {{∅}} ist Teilmenge von M2 und somit Element von M3.
M2 = {∅, {∅}} ist Teilmenge von M2 und damit Element von M3.

END OF EDIT

So kann man aus Nichts Etwas konstruieren.

Für den, der es nicht glaubt, ein Referenzlink:

Wikipedia - Potenzmenge

Die Potenzmenge P(M) der Menge M = {a,b,c} ergibt sich z.B. zu

P(M) = {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Es werden alle möglichen Teilmengen berücksichtigt, die man aus den Elementen a,b,c bilden kann.

Die Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer n-elementigen Menge ergibt sich zu $2^n$.

Fragestellung zur Konstruktion

Es wird jetzt spekulativ.

Zu jedem $n \in \mathbb{N}$ lässt sich eine Menge Mn konstruieren.

Sei nun N0 die Menge, die sich ergibt, wenn das Verfahren der Potenzmengenkonstruktion unendlich oft durchgeführt wird.

Frage: ist die Potenzmenge von N0 dann in N0 enthalten?

Allerdings weiß ich momentan nicht, ob die Fragestellung sinnvoll ist. Weil sich zwar für jede natürliche Zahl n eine Menge Mn bestimmen lässt, aber die Elemente von N0 für mich nicht bestimmbar sind. Auf den ersten Blick.

Vielleicht gelingt es über die Konstruktion unendlicher Mengen ... N0 enthält z.B. die leere Menge, eingeschlossen in unendlich viele geschachtelte Mengenklammern ...

Ob das Ganze zu einer Potenzmenge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist? Dann wären wir bei den reellen Zahlen. Und wie sieht die Potenzmenge der reellen Zahlen aus?

Beispiel einer Menge, die sich selbst als Element enthält

Sei M die Menge aller Mengen. Jedes Element von M ist nach dieser Definition eine Menge. Da M eine Menge ist, ist sie damit auch ein Element von M, d.h. es gilt $M \in M$.

Die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthält

$A = \{M| \text{M ist eine Menge und es gilt } M \notin M\}$

Das gilt für alle Mengen, die ich mir anschaulich vorstellen kann.

$X = \{1,2,3\}$ ist z.B. eine Menge, die sich nicht selbst als Element enthält.

Die Russelsche Antinomie

Angenommen, es gilt A ist Element von A. Dann gilt nach Definition von A, A ist nicht in A enthalten.

Angenommen, es gilt A ist kein Element von A, dann gilt nach Definition von A, A ist in A enthalten.


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